El teorema del límite central

Dicen algunos estadísticos que es el teorema más importante de la Estadística. Lo cierto es que gracias a él, la gestión de la calidad dio un paso muy importante en la mejora de procesos. Y es que, el Gráfico de Control de Medias, una de las herramientas más poderosas del Control Estadístico de Procesos, se basa en este teorema.

Conceptos previos:

Media de una población: es la media aritmética de un conjunto de datos que conforman una población (N).

Media de una muestra: es la media aritmética de un conjunto de datos que conforman una muestra (n).

Generalmente son objetos de estudio poblaciones muy grandes, de tamaño N, y resulta muy difícil calcular la media de la población, pues se requeriría mucho tiempo y dinero. Entonces se recurre a una muestra, de tamaño n, para estimar la media de la población.

Es evidente que, mientras más grande sea la muestra, la media que se calcule estará más próxima a la media de la población; pero como ya se dijo antes, resultará más antieconómica y requerirá de más tiempo.

El teorema del límite Central

Si se extraen varias muestras de tamaño n de cualquier población (no necesariamente normal) con media m y desviación estándar s, las medias de estas muestras (medias muestrales) tendrán una distribución aproximadamente normal con media m y desviación estándar s /√n, si n es grande (mayor o igual que 50). Si la población tiene distribución normal, la media muestral tendrá también distribución normal, aunque n sea pequeño (menor que 50).

Si la población no es normal; pero no dista mucho de serlo, como en la figura 1, no hace falta que las muestras sean tan grandes para que se cumpla el teorema del límite central. Con n = 10 o 20 podría ser suficiente

Puede ilustrarse este teorema mediante el siguiente ejemplo: se seleccionan aleatoriamente 100 muestras, cada conformada por 50 bolsas de azúcar de la producción de una fábrica, y se calcula la media los pesos en cada una de las muestras. Las 100 medias calculadas se agrupan en clases y se traza un histograma que las representa. Este histograma tendrá una forma muy aproximada a una curva normal. Si se supiera el promedio y la desviación estándar de los pesos de todas las bolsas de azúcar que se han producido (parámetros poblacionales), se estaría verificando también que la media de las medias de las 100 muestras casi coincide con la media poblacional, y que la desviación estándar de la población, dividida entre √n, casi coincide con la desviación estándar de las medias.

En la Figura 1 se puede ver cómo se distribuye una misma población de datos, y cómo se distribuyen las medias de muestras grandes sacadas de esa población. Se aprecia que la amplitud de las medias es considerablemente menor que la amplitud de los datos de la población; mientras más grandes sean las muestras, más pequeña será la amplitud de las medias.

Figura 1

En la figura 2 se puede ver cómo se distribuyen las medias de varias muestras obtenidas de una misma población, para distintos tamaños de muestras.

Figura 2

Las flechas que se han trazado en el eje horizontal representan el rango de valores que podría tomar una media de una muestra, de acuerdo al tamaño de muestra elegido. Como se ve en la Figura 2, este rango es cada vez más estrecho a medida que crece el tamaño de la muestra. Nótese que al pasar de una muestra de tamaño 10 a una muestra de tamaño 50, el rango disminuye considerablemente. En cambio, al aumentar por encima de 50, la reducción del rango no es tan notable, salvo que la muestra sea considerablemente grande.