Árboles de decisión

En todas las empresas, fábricas, tiendas, etc., se toman decisiones continuamente. Se tiene que decidir, por ejemplo:

·      Cuántas horas-hombre contratar el próximo mes.

·      Cuánto gastar en publicidad de un producto el próximo año.

·      Cuántas mochilas comprar para la campaña escolar.

·      Si conviene introducir un nuevo producto en el mercado.

·  Si conviene comprar una máquina para elaborar un componente de un producto final, o seguir comprando el componente a un proveedor.

·      Si conviene reemplazar o reconstruir un equipo.

En cada uno de estos ejemplos se ve que son posibles dos o más cursos de acción. Generalmente las decisiones se toman con base en la intuición de las personas con experiencia; pero existe el peligro de equivocarse por no hacer un análisis profundo de las decisiones posibles y sus consecuencias.

Definiciones

Decisor: es un ente individual o colectivo capaz de tomar decisiones. Se asocia al decisor un conjunto de decisiones posibles {a_i}.

Alternativas de decisión: es el conjunto de decisiones o acciones {a_i} entre las cuales el decisor debe elegir una.

Estados de la naturaleza: son las circunstancias que influyen en el beneficio que va a recibir el decisor y sobre los cuales él no puede influir. A los distintos estados de la naturaleza se les denomina {b_j}.

Según el conocimiento que se tenga de los posibles estados de la naturaleza, se puede tener:

Ambiente de certeza: cuando el decisor conoce perfectamente el estado de la naturaleza que se tendrá para la decisión que tome.

Ambiente de riesgo: cuando no se dispone de información perfecta como el caso anterior, pero se conocen las probabilidades de ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza. En este capítulo se analizarán situaciones de este tipo.

Ambiente de incertidumbre: cuando no se dispone de ninguna información sobre las probabilidades con que pueden ocurrir los estados de la naturaleza. El decisor debe elaborar un criterio que dependerá mucho de su criterio particular.

Ambiente de competencia: cuando influyen causas promovidas por otro decisor, pudiendo sus decisiones influir negativamente en el beneficio. Esto significa que lo que suponga un beneficio para un decisor, será un perjuicio para el otro. La teoría de juegos, que es parte de la Investigación de Operaciones, se encarga de analizar situaciones como esta.

Consecuencias: son los resultados asociados a cada acción. Dependen de la decisión que tome el decisor y del estado de la naturaleza que se presente. Lógicamente, un estado de la naturaleza se presentará después de que el decidor haya escogido una acción.

A los resultados se les suele cuantificar con un valor (v_ij), que representa el costo o beneficio que se obtiene cuando se toma la decisión i y ocurre el estado de la naturaleza j.

Existen problemas con dos o más etapas, en donde hay una sucesión de acciones y eventos, que conviene representar mediante árboles para poder hacer un mejor análisis. En muchos casos, la primera etapa consta de una prueba que, con la ayuda de información muestral ayuda a tomar mejor la decisión final.

En los árboles se suele seguir el siguiente convenio tácito: las acciones posibles se ramifican a partir de un cuadrado, y los estados de la naturaleza se ramifican a partir de un círculo, como se muestra en la siguiente figura.

A continuación se resuelve un caso empleando un árbol de decisión que se dibuja expresamente para esta situación.

Una editorial está considerando lanzar una revista mensual con artículos e información de interés para economistas y empresarios. Con base en su experiencia pasada y en sus percepciones, el gerente de la editorial ha estimado las siguientes ganancias anuales (en soles), considerando tres niveles distintos de demanda de su revista.

El gerente estima además que las probabilidades de estos tres niveles de demanda son:

                                               P(baja) = 0,5; P(regular) = 0,2; P(alta) = 0,3

Además, el gerente pronostica que la competencia para su revista será muy grande, por lo que piensa en la posibilidad de hacer un sondeo de mercado sobre la aceptación que tendrá su revista. Suponga que este sondeo, que le costaría S/.5000 a la editorial, solo indicará si el diagnóstico es favorable o si es desfavorable, con lo que se decidirá si editar o no la revista. Con base en experiencias previas en relación a otras publicaciones, el gerente ha establecido las siguientes probabilidades condicionales, dadas las posibles demandas:

                                P(diagnóstico favorable \ demanda baja) = 0,10

                                P(diagnóstico favorable \ demanda regular) = 0,60

                                P(diagnóstico favorable \ demanda alta) = 0,90

¿Cuál es la mejor decisión para la editorial?

En la siguiente tabla se introducen las probabilidades dadas y se calculan las probabilidades condicionales.

En la siguiente figura se representa un árbol con todas las posibles decisiones, los posibles estados de la naturaleza, sus probabilidades condicionales de ocurrencia y las ganancias esperadas para todos los estados finales posibles. Por ejemplo, si el diagnóstico es favorable, se tendría una ganancia de -55000 soles.

Nótese que la primera decisión que debe tomar el gerente de la editorial es si hace o no hace el sondeo; esta decisión le ayudará a decidir luego si edita o no la revista, con base en el resultado del sondeo.

Además, en el árbol se han expresado las probabilidades condicionales calculadas a partir de la tabla anterior:

                P(demanda baja \ diagnóstico favorable) = 5/44

                P(demanda regular \ diagnóstico favorable) = 12/44

                P(demanda alta \ diagnóstico favorable) = 27/44

                P(demanda baja \ diagnóstico desfavorable) = 45/56

                P(demanda regular \ diagnóstico desfavorable) = 8/56

                P(demanda alta \ diagnóstico desfavorable) = 3/56

Una vez expresadas las probabilidades en el árbol, resulta fácil calcular las ganancias esperadas para cada decisión, utilizando el criterio de Bayes.

Con base en estas ganancias esperadas se decide si editar o no editar, escogiendo la acción que dé la mayor ganancia. Por ejemplo, si el resultado del sondeo es favorable, por editar la revista se espera ganar 114318,18 soles y por no editarla se espera perder 5000 soles. Evidentemente se elige editarla. Siguiendo este mismo procedimiento se elige no editar la revista para el caso en que el diagnóstico sea desfavorable, con una pérdida esperada de 5000 soles. Como se conoce la probabilidad de que el sondeo dé un diagnóstico favorable y que dé un diagnóstico desfavorable, aplicando el criterio de Bayes se calcula la ganancia que se espera tener si se hace sondeo, que resulta 47500 soles. Siguiendo este mismo procedimiento se llega a obtener la ganancia esperada si no se hace sondeo: cero.

Por lo tanto, se decide hacer el sondeo, pues reporta mayor ganancia esperada. Si el sondeo da un diagnóstico favorable, convendrá editar la revista; y si el diagnóstico es desfavorable, convendrá no editarla.

Valor esperado de la información perfecta (VEIP)

Una vez obtenida la información muestral, el decisor no sabe qué estado de la naturaleza ocurrirá; pero tiene valoraciones probabilísticas más fundadas de estos estados. Además de analizar esa información muestral, es útil considerar el caso extremo en el que puede obtenerse información perfecta sobre el estado de la naturaleza que ocurrirá.

Para el ejemplo de la editorial, para cualquier estado de la naturaleza que se presente, el gerente debe decidir si editar o no editar. Como se ve en la siguiente figura, si la demanda resultase baja a él le convendría no editar (ganancia 0); si la demanda resultase regular, le convendría editar (ganancia 50000), y si la demanda resultase alta, le convendría editar (ganancia 200000). Por lo tanto, si el tuviese información perfecta del estado de la naturaleza (la demanda) que se presentará, su ganancia esperada sería:

                                GEIP = 0 (0,5) + 50000 (0,2) + 200000 (0,3) = 70 000 soles

Por lo tanto, el valor esperado de la información perfecta sería lo que espera ganar con dicha información menos lo que espera ganar sin dicha información:

                VEIP = 70000 – 0 = 70000 soles