Para calcular ciertas probabilidades es necesario calcular permutaciones y combinaciones. Para un mejor entendimiento de estas definiciones se emplean ejemplos sencillos, muchos de los cuales tienen relación con los juegos de azar, aunque puedan resultar poco útiles para efectos prácticos.
Una permutación
es un arreglo, en un determinado orden, de un conjunto de elementos. Por
ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes
permutaciones de dos letras: ab, ba, ac,
ca, bc, cb,..., xy, yx,
yz, zy.
Una combinación es un arreglo, sin que importe el orden, de un conjunto de elementos. Por ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes combinaciones de tres letras: abc, abd, abe,..., bcd, bce, bcf,..., cde,..., xyz.
Teoremas relativos a permutaciones y combinaciones
TEOREMA 1: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de N elementos diferentes, es:
P(N, r) = N! / (N - r)!
Se demuestra este teorema de la siguiente manera: para escoger el primer elemento hay N posibilidades, y para escoger el segundo hay (N – 1) posibilidades. El número de formas en que se pueden arreglar los dos primeros elementos es: N (N – 1). Para escoger el tercer elemento hay (N – 2) posibilidades. El número de formas en que se pueden arreglar los N (N – 1) arreglos anteriores con el tercer elemento es N (N – 1) (N – 2). Así, sucesivamente, se deduce que, para escoger el r-ésimo elemento hay N – (r – 1) posibilidades, y el número de formas en que se pueden arreglar los r elementos es:
N (N – 1) (N – 2)... [N – (r – 1)]
Como se podrá
deducir fácilmente, este último producto de r
factores es igual al cociente dado por el teorema 1.
Ejemplo 1:
N = 5 (los dígitos impares son: 1, 3, 5, 7, 9)
r = 3
P(N, r) = 5! /(5 - 3)! = 60
Pueden formarse 60 números diferentes con los dígitos impares.
Ejemplo 2:
Se va a realizar una prueba de atletismo con 6 participantes. ¿De cuántas formas se pueden entregar las medallas para los tres primeros puestos?
N = 6
r = 3
P(N, r) = 6! / (6 - 3)! = 120
Las medallas para los tres primeros puestos se pueden entregar de 120 formas diferentes.
COROLARIO 1: El número de permutaciones de N elementos que se pueden formar a
partir de un conjunto de N elementos
diferentes, es:
P(N, N) = N!
Ejemplo:
¿Cuántos números
de cinco dígitos pueden formarse con los dígitos impares?
N = 5 (los dígitos impares son: 1, 3, 5, 7, 9)
P(N, N) = 5! = 120
Pueden formarse 120 números diferentes empleando los cinco dígitos impares.
COROLARIO 2: Dado un grupo de N elementos, conformado por k grupos diferentes, de tal forma que n1 elementos iguales conforman el primer grupo, n2 elementos iguales conforman el segundo grupo, ..., nk elementos iguales conforman el k-ésimo grupo, donde n1 + n2 + ... + nk = N ; el número de permutaciones que pueden formarse, tomando los N elementos a la vez, es:
P(N; n₁, n₂, ..., nₖ) = N! / (n₁! n₂! ... nₖ!)
Este corolario puede comprobarse siguiendo el siguiente razonamiento: si los elementos del primer grupo fuesen diferentes, el número total de permutaciones que pueden formarse quedaría multiplicado por n₁!; y si los elementos del segundo grupo también fuesen diferentes, el total anterior quedaría multiplicado por n₂!; y si, al igual que los grupos anteriores, los elementos del k-ésimo grupo también fuesen diferentes, el total también quedaría multiplicado por nₖ!; resultando finalmente que el número total de permutaciones con N elementos diferentes es N!, como era de esperarse.
Ejemplo:
¿Cuántos números pueden formarse con los siguientes dígitos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, tomando todos a la vez?
P(11; 4, 2, 1, 1, 3) = 11!/ 4! 2! 1! 1! 3! = 138 600
Pueden formarse 138 600 números diferentes.
TEOREMA 2: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a
partir de un conjunto de N elementos
diferentes, si se admite repetición de los elementos, es:
PR (N, r) = N r
La demostración es igual a la del teorema 1, solo que, para escoger cada uno de los r términos, hay siempre N posibilidades, resultando N × N × ... × N, (r veces), es decir, N r permutaciones.
Ejemplo:
¿Cuántos números de tres
cifras pueden formarse con los dígitos impares, si se admite repetición de
cualquiera de los dígitos?
PR (5, 3) = 53 = 125 números
TEOREMA 3: El número de
combinaciones de r elementos que se
pueden formar a partir de un conjunto de N
elementos diferentes, es:
C(N, r) = N! / r!(N - r)!
Se demuestra este teorema considerando que C(N, r) multiplicado por el número de permutaciones que se pueden formar con los r elementos, r!, debe ser igual a P(N, r), es decir, N! / (N – r)!
Ejemplo:
Un profesor
quiere escoger 8 alumnos de un conjunto de 15. ¿De cuántas formas puede
hacerlo?
Es evidente que no importa el orden en que se escogen los 8 alumnos.
C(15, 8) = 15! / 8!(15 - 8)! = 6 435
El profesor puede escoger 8 alumnos de 6 435 formas.
Problemas resueltos
1) Se extrae una “mano” de 5 cartas de una baraja completa.a) ¿Cuántas “manos” distintas se pueden obtener?
C(52, 5) = 52! / 47! 5! = 2 598 960
Se tiene que calcular el número de formas en que se pueden escoger 3 ases de un total de 4 y luego 2 cartas cualesquiera (sin considerar el as que queda) de las 48 restantes.
2) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6
personas en una banca, de tal manera que dos de ellas, Elena y Graciela, nunca
estén juntas?
P(6, 6) - 2P(5, 5) = 720 - 240 = 480
3) ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité de 4 personas de un grupo de 10 personas, de tal manera que esté el único abogado del grupo? Primero se calculará el número de formas en que se puede escoger el único abogado y luego el número de formas en que se puede escoger las 3 personas restantes, de las 9 que quedan.
4) En un aula de 30 alumnos hay 20 deportistas, de los cuales 8 practican deportes individuales y 12 deportes colectivos.
a) ¿Cuántos grupos de 5 alumnos se pueden formar?
Como no importa si los 5 alumnos son o no deportistas, el número de grupos de 5 alumnos que se pueden formar es:
C(30, 5) = 142 506b) ¿En cuántos grupos todos son deportistas?
Ahora hay que calcular el número de formas en que se pueden escoger 5 deportistas de un total de 20.
C(20, 5) = 15 504
Se pueden formar 15 504 grupos donde todos son deportistas.
c) ¿En cuántos grupos hay 3 que practican deportes colectivos?
Como hay 12 alumnos que practican deportes colectivos y el resto no, hay que calcular el número de formas en que se puede escoger 3 de esos 12 alumnos, y luego 2 de los restantes 18.
C(12, 3) C(18, 2) = 33 660
Se pueden formar 33 660 grupos donde haya tres alumnos que practican deportes colectivos.
d) ¿En cuántos de los grupos donde todos son deportistas hay 3 que practican deportes colectivos?
Considerando sólo los grupos donde todos los alumnos son deportistas, hay 12 alumnos que practican deportes colectivos y el resto, 8, deportes individuales; se calcula entonces el número de formas en que se puede escoger 3 de esos 12 alumnos y luego 2 de los 8 restantes.
C(12, 3) ´ C(8, 2) = 6 160
De los grupos donde todos son deportistas, hay 6 160 grupos donde 3 practican deportes colectivos
e) ¿En cuántos grupos hay al menos un alumno que no practica deportes individuales?
Resulta más práctico calcular el número de grupos donde no haya ningún alumno que no practique deportes individuales (todos practican deportes individuales) y restarlo del total de grupos que se pueden formar.
C(30, 5) – C(8, 5) = 142 450
Se pueden formar 142 450 grupos donde al menos un alumno no practica deportes individuales
5) Las letras a, b, b, c, d, d, d se distribuyen al azar.
a) ¿Cuántos arreglos distintos pueden hacerse?
Considerando los 4 subgrupos que hay:
P(7; 1, 2, 1, 3) = 420
Se pueden hacer 420 arreglos distintos.
b) ¿En cuántos de estos arreglos las 3 letras “d” quedan juntas?
Si las 3 letras “d” quedan juntas, pueden considerarse como un solo elemento:
P(5; 1, 2, 1, 1) = 60
En 60 arreglos las 3 letras “d” quedan juntas.
6) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, si se admite repetición?
N = 2
r = 3
N r = 23 = 8
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