Experimentos y eventos
Un experimento es la reproducción controlada de un fenómeno. En Estadística solo se consideran experimentos que se pueden representar mediante modelos probabilísticos.
A los resultados de los experimentos se les denomina eventos, los cuales pueden ser simples o compuestos. Los eventos compuestos pueden contener dos o más eventos simples.
Espacio muestra
Es la representación de todos los eventos posibles de un experimento. Esta representación puede ser gráfica o analítica, como se ve en los siguientes ejemplos resueltos.
Variable aleatoria
Es una función definida sobre un espacio muestra S, donde a cada evento del espacio muestra le corresponde un número real:X(eₖ) = xₖ
Una variable aleatoria puede ser:
- Discreta: si el número de eventos posibles es finito o numerablemente infinito.
- Continua: si el número de eventos posibles es infinito (no numerable).
Dado un espacio muestra, se pueden definir varias variables aleatorias, como se verá en los siguientes ejemplos resueltos.
Ejemplos resueltos
1. Un experimento consiste en lanzar 2 monedas. La moneda puede mostrar cara (C) o sello (S). El espacio muestra, que consta de 4 eventos simples, será: S = {CC, CS, SC, SS}.
Un evento compuesto puede ser, por ejemplo, el resultado “una cara y un sello”: E = {CS, SC}. Para el espacio muestra S se podrían definir las siguientes variables aleatorias:
X = Número de caras
Y = Número de sellos
Z = Número de caras – Número de sellos
W = 2(Número de caras) + (Número de sellos)² … etc.
En todos estos casos la variable aleatoria es discreta.
2. Un experimento consiste en lanzar 2 dados (o lanzar un dado dos veces).
El espacio muestra será en este caso: S = {(1, 1),(1, 2),...,(1, 6), ...,(6, 6)}. En la siguiente figura se representa gráficamente este espacio muestra.
Cada intersección de la figura representa un evento simple. Hay, por lo tanto, 36 eventos simples, es decir, 36 posibles resultados.
Para este espacio muestra, la variable aleatoria se podría definir de las siguientes formas:
- X = suma de lo que muestran los dos dados.
- Y = (Número que muestra el dado 1) – (Número que muestra el dado 2).
… etc.
En todos estos casos la variable aleatoria es discreta.
3. Un experimento consiste en pesar el contenido de café de una bolsa extraída al final de un proceso de llenado automático.El espacio muestra será: S = {0,...,700}, suponiendo que las bolsas nunca pueden llegar a pesar más de 700 gr.
Gráficamente, este espacio muestra se representa en la siguiente figura.
En este caso la variable aleatoria es continua.
Probabilidad
Existen tres tipos de probabilidades: a priori, experimentales y subjetivas.
Probabilidad a priori:
Si observamos algunos espacios muestra nos daremos cuenta de que, en la mayoría de los casos, todos los eventos simples tienen la misma posibilidad de ocurrencia. Si cuantificamos estas posibilidades, llamándoles probabilidades, de tal forma que la suma de estas sea la unidad, se puede entonces definir la probabilidad de que ocurra un evento simple de la siguiente manera:
P(eₖ) = Número no negativo asociado al evento eₖ del espacio muestra S, de tal manera que:
P(eₖ) = 1 y S = e₁ ∪ e₂ ∪ ... ∪ eₙ
Entonces, si, por ejemplo:
A = e₁ ∪ e₂ ∪ ... ∪ eₖ
Entonces se deduce que:
P(A) = P(e₁) + P(e₂) + ... + P(eₖ)
P(A) = 1/n + 1/n + ... + 1/n = k/n
P(A) = Número de eventos éxito/ Número de eventos total
Problemas resueltos:
1) Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5?P = 1/6
2) Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 5?
P = 4/36 = 1/9
¿Cuál es la probabilidad de obtener suma menor que 5?
P = (1 + 2 + 3)/36 = 6/36 = 1/6
3) Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
Eventos posibles: {CC, CS, SC, SS}. Eventos éxito: {CC}
P = 1/4
¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo una cara?
P = (1 + 1)/4 = 2/4 = 1/2
4) En un lote de 100 pernos hay 4 defectuosos. Si un comprador escoge 20 pernos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que se lleve 2 pernos defectuosos? El comprador se lleva 2 pernos defectuosos, de un total de 4, y 18 pernos no defectuosos, de un total de 96. Entonces:
P = P(4,2) P(96,18) / P(100,20) = 0.1531
5) De una baraja completa de 52 cartas, se extrae una "mano" de 5 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a) Dos espadas, dos corazones y un diamante?
Hay que determinar el número de formas en que se pueden escoger 2 espadas de un total de 13, y luego 2 corazones de un total de 13 y luego un diamante de un total de 13.
P = C(13,2) C(13,2) C(13,1) / C(52,5)
Probabilidad experimental
En algunas ocasiones, los posibles resultados de un experimento no tienen la misma probabilidad de ocurrencia, lo cual dificulta la predicción de estas probabilidades.Si un experimento de esta naturaleza se repitiera muchas veces, podríamos ver la frecuencia con que ocurrirían los posibles resultados. Mientras más veces se repita el experimento, las frecuencias relativas se aproximarán cada vez más a las verdaderas probabilidades de ocurrencia de cada uno de dichos resultados. Entonces:
En la práctica,
la mayoría de las probabilidades solo pueden determinarse por la vía
experimental. Si, por ejemplo, se quiere saber cuál es la probabilidad de que
un foco funcione por lo menos las horas que especifica el fabricante, se tendrá
que tomar una muestra grande de focos (n)
y ver cuántos de estos cumplen con dicha especificación (f ). Cuanto más
grande sea N, el cociente f / n se aproximará más a la
probabilidad requerida. Como se ve, la única forma de calcular una probabilidad
de este tipo es mediante la experimentación.
En muchas
situaciones no hace falta experimentar pues se cuenta con datos históricos
suficientes. Por ejemplo, ¿cómo calcularía un pastelero la probabilidad de que
la demanda de sus pasteles de manzana en un día sea de 10 a 15 unidades?
Necesitaría datos de la demanda de n días, para determinar en cuántas
ocasiones (f ) la demanda fue de 10 a 15 unidades. La probabilidad será f
/ n.
Una probabilidad que ha sido calculada "a priori" puede verificarse, con cierta aproximación, repitiendo el experimento. Por ejemplo, si queremos comprobar que la probabilidad de obtener dos caras y un sello, al lanzar tres monedas, es igual a 0,375; tenemos que lanzar las tres monedas una gran cantidad de veces. A continuación se muestra la frecuencia con que se obtuvo dicho resultado, luego de n lanzamientos.
Se puede concluir entonces que, conforme n crece, la frecuencia relativa o probabilidad experimental tiende al verdadero valor de la probabilidad. Esta tendencia se visualiza mucho más en el gráfico de la figura, donde la línea horizontal representa la probabilidad real: 0,375.
Probabilidad subjetiva
En muchas ocasiones se necesita determinar la probabilidad de que ocurra un fenómeno que es imposible repetir, o cuya repetición no tiene significado.
Por ejemplo, si se va a construir un puente en cierto lugar, ¿cómo determinar la probabilidad de que, a 10 m. de profundidad el terreno no sea arenoso sino de arcilloso? En este caso, la probabilidad de que ocurra dicho suceso no puede ser más que una medida subjetiva del grado de confianza que tenga un especialista para predecirlo. Si él opina que dicha probabilidad es de 0,25, estará expresando un grado de credibilidad de su juicio; pues el terreno será arcilloso o no, pero no será arcilloso en el 25% de las observaciones que se haga.
La precisión de una probabilidad subjetiva depende de la habilidad o conocimiento que tenga una persona para juzgar una determinada situación.
La probabilidad subjetiva también puede aplicarse a fenómenos repetitivos. Por ejemplo, un inspector que está revisando unos lotes de artículos producidos en una jornada, puede hacer caso omiso a su experiencia previa, y decidir revisar más artículos, porque tiene el presentimiento de que este día hay más artículos defectuosos de lo habitual.
Probabilidad = Porcentaje = Proporción = Fracción
Ahora que se entiende claramente el concepto de probabilidad, se ve que es correcto afirmar que una probabilidad se puede interpretar como una proporción, como una fracción o como un porcentaje. Por ejemplo, si en un supermercado, la probabilidad de elegir aleatoriamente a un cliente con un consumo mayor de $20, es 0,16; se puede afirmar que el 16% de los clientes gasta más de $20, o que 16 de cada 100 clientes gastan más de $20.
Otro ejemplo: si la probabilidad de que una persona en Iquitos ya se haya contagiado de Covid-19 es 0,80, entonces se podría afirmar que el 80% de dicha ciudad ya se ha contagiado, o que 80 de cada 100 personas en Iquitos ya se han contagiado.
Esta interpretación de la probabilidad como porcentaje es muy importante, pues nos da una mejor interpretación de la probabilidad, debido a que la mayoría de las personas está habituada a tratar e interpretar los porcentajes.
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