La distribución de Poisson

Se puede comprobar que las siguientes variables aleatorias siguen distribuciones de Poisson:

- El número de clientes que llegan, en un intervalo de tiempo, a un local donde se brinda un servicio.

- El número de defectos que hay en un lote de unidades producidas.

- El número de fallas que tiene una máquina en un intervalo de tiempo.

Cualquiera de estas variables aleatorias (X) puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3, ... Se puede comprobar que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor cualquiera (x), es:

... donde 𝞵 es la media o valor esperado de X.

Una característica de una variable con distribución de Poisson es que la varianza resulta igual al valor esperado.

Ejemplo 1:

En un taller donde cada operario trabaja con su respectiva máquina, hay un promedio de 3 máquinas en reparación. Si el taller cuenta con 4 máquinas de repuesto, ¿cuál es la probabilidad de que haya dos operarios desocupados?

Se asume que el número de máquinas que hay en reparación tiene una distribución de Poisson. Habrá dos operarios desocupados cuando haya 6 máquinas en reparación. La probabilidad de que haya 6 máquinas en reparación es:

La probabilidad de que haya dos operarios desocupados es 0,0504.

Ejemplo 2:

Supóngase que el número de clientes que llega a un banco sigue una distribución de Poisson, con una media de 36 clientes por hora. ¿Cómo será la distribución de probabilidad del número de clientes que llega cada 5 minutos?

El promedio de clientes que llega cada 5 minutos será:

Aplicando la misma fórmula, para x = 0, 1, 2, ... se obtiene:

Como se puede apreciar, ya resulta muy poco probable que en 5 minutos lleguen más de 6 clientes.

Para calcular estas probabilidades o algunas probabilidades acumulativas, se puede recurrir a la función POISSON.DIST de Excel, como pueden ver en las siguientes figuras:

En la siguiente figura se muestran distribuciones de Poisson para distintos valores de m. Para evitar superposiciones de barras, se han trazado gráficos continuos en vez de los clásicos gráficos de barras.

Comentarios

Entradas más populares de este blog

Interpretación de histogramas

Los histogramas nos pueden brindar mucha información que en las empresas ni se imaginan. Para una persona que conozca un proceso cualquiera, la forma que tiene un histograma construido a partir de una muestra de datos extraídos de dicho proceso, le indicará qué podría estar ocurriendo con su proceso. A continuación se muestran los distintos tipos de histogramas que se podrían encontrar, con una interpretación de lo que probablemente esté ocurriendo. Histograma general : la media del histograma está en el centro del rango de datos. La frecuencia es mayor en el centro y disminuye gradualmente hacia los extremos, ajustándose a una distribución normal. Se presenta en casi todos los casos en que se representa una medida importante en un proceso productivo. Histograma con sesgo positivo o negativo : tiene forma asimétrica. La media del histograma está a la izquierda (o a la derecha) y la frecuencia disminuye lentamente hacia la derecha (o hacia la izquierda). Se pr...

Gráficos o cartas de control

El 16 de mayo de 1924, Walter A. Shewhart, un físico estadounidense, entregó un informe de una página a su jefe en Bell Technologies , destinado a cambiar la historia de la calidad. En él, un breve texto acompañaba a un gráfico, hoy conocido como gráfico o carta de control. Actualmente, pese a que sus gráficos de control siguen siendo útiles, muchos los emplean de manera incorrecta por el desconocimiento que tienen de los fundamentos estadísticos que los sustentan. Los gráficos de control nos permiten visualizar cómo va cambiando la variabilidad de una determinada medida (por ejemplo, el peso del agua embotellada que va saliendo de un proceso de producción), a lo largo del tiempo. Un gráfico de control está conformado por una línea central, que suele medir un promedio; dos límites de control, uno por encima y otro por debajo de la línea central; y una serie de valores característicos registrados en el gráfico que representan el estado de una medida de un proceso a lo largo de...

La distribución normal (la campana de Gauss)

La curva normal o campana de Gauss Todas las medidas tomadas en cualquier proceso productivo tienen una distribución simétrica en forma de campana, si es que el proceso productivo está bajo control, es decir, si todo está funcionando dentro de lo establecido. Ejemplo de medidas tomadas en un proceso productivo: El peso de las bolsas que se llenan con azúcar con una máquina automática. El diámetro de los pistones que se elaboran en un taller. El volumen de las botellas que se llenan con cerveza con una máquina automática. La temperatura de un horno de cocción en un proceso de fabricación de harina de pescado. El voltaje que llegan a las viviendas en una ciudad. Estas medidas suelen tener una distribución simétrica en forma de campana debido a que, al haber un control sobre estas, la gran mayoría resultan muy cercanas al valor nominal establecido, y muy pocas resultan más lejanas a dicho valor. ¿Y cómo es esa distribución simétrica en forma de campana? Imagínense q...

Estadísticas de César Angulo Bustíos

Buscar este blog