La distribución de Poisson

Se puede comprobar que las siguientes variables aleatorias siguen distribuciones de Poisson:

- El número de clientes que llegan, en un intervalo de tiempo, a un local donde se brinda un servicio.

- El número de defectos que hay en un lote de unidades producidas.

- El número de fallas que tiene una máquina en un intervalo de tiempo.

Cualquiera de estas variables aleatorias (X) puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3, ... Se puede comprobar que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor cualquiera (x), es:

... donde 𝞵 es la media o valor esperado de X.

Una característica de una variable con distribución de Poisson es que la varianza resulta igual al valor esperado.

Ejemplo 1:

En un taller donde cada operario trabaja con su respectiva máquina, hay un promedio de 3 máquinas en reparación. Si el taller cuenta con 4 máquinas de repuesto, ¿cuál es la probabilidad de que haya dos operarios desocupados?

Se asume que el número de máquinas que hay en reparación tiene una distribución de Poisson. Habrá dos operarios desocupados cuando haya 6 máquinas en reparación. La probabilidad de que haya 6 máquinas en reparación es:

La probabilidad de que haya dos operarios desocupados es 0,0504.

Ejemplo 2:

Supóngase que el número de clientes que llega a un banco sigue una distribución de Poisson, con una media de 36 clientes por hora. ¿Cómo será la distribución de probabilidad del número de clientes que llega cada 5 minutos?

El promedio de clientes que llega cada 5 minutos será:

Aplicando la misma fórmula, para x = 0, 1, 2, ... se obtiene:

Como se puede apreciar, ya resulta muy poco probable que en 5 minutos lleguen más de 6 clientes.

Para calcular estas probabilidades o algunas probabilidades acumulativas, se puede recurrir a la función POISSON.DIST de Excel, como pueden ver en las siguientes figuras:

En la siguiente figura se muestran distribuciones de Poisson para distintos valores de m. Para evitar superposiciones de barras, se han trazado gráficos continuos en vez de los clásicos gráficos de barras.

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