La paradoja de la coincidencia de cumpleaños

“La paradoja” de la coincidencia de cumpleaños

¿Se han preguntado alguna vez, qué tan probable es que, en un grupo de 20, 30 o 40 personas, al menos dos coincidan en el día de su cumpleaños?

Para calcular esta probabilidad, es mucho más práctico calcular antes cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas coincida en el día de su cumpleaños, y luego restar de 1 esta probabilidad. Por ejemplo:

Para un grupo de 2 personas (n = 2):

La primera persona podría haber nacido cualquier día del año: P1 = 365/365

La segunda persona tendría que haber nacido en cualquiera de los otros 364 días: P2 = 364/365

Por lo tanto, aplicando el teorema de la multiplicación:

- P(ninguna coincida) = (365/365) × (364/365) = 0.997260274 = 99.7260274%

Y restando de 1:

- P(las dos coincidan) = 1 - 0.997260274 = 0.00273973 = 0.273973%

Para un grupo de 3 personas (n = 3):

La primera persona podría haber nacido cualquier día del año: P1 = 365/365

La segunda persona tendría que haber nacido en cualquiera de los otros 364 días: P2 = 364/365

La tercera persona tendría que haber nacido en cualquiera de los otros 363 días: P3 = 363/365

Por lo tanto, aplicando el teorema de la multiplicación:

- P(ninguna coincida) = (365/365) × (364/365) × (363/365) = 0.991795834 = 99.1795834%

Y restando de 1:

- P(al menos dos coincidan) = 1 - 0.997260274 = 0.00820417 = 0.820417%

Así sucesivamente, se puede ir calculando probabilidades para grupos más grandes. Con Excel, estos cálculos se hacen con mucha facilidad y rapidez. Aquí algunos resultados:

Como se puede ver en el gráfico, sorprendentemente, ya a partir de grupos de 23 personas la probabilidad de que al menos dos coincidan en el día de cumpleaños es mayor al 50%. Y a partir de grupos de 41 personas dicha probabilidad supera el 90%. A partir de grupos de 60 personas, la probabilidad de al menos dos coincidencias es casi 1.

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